
Пример. На три базы поступили ящики с заготовками деталей, которые необходимо доставить на четыре завода. Исходные данные представлены в нижеследующей транспортной таблице.
Таблица 10.3
Определите оптимальный план доставки заготовок на заводы с учетом минимизации совокупных транспортных затрат.
Решение
Обозначим искомые объемы поставок от i-ой базы-поставщика к j-му заводу-потребителю через .
Математическая модель данной задачи будет иметь вид:
I итерация:
1 этап: проверка сбалансированности запасов и потребностей.
Представленная транспортная задача является открытой, т.к. суммарная мощность баз-поставщиков меньше суммарной потребности заводов-потребителей на 200 ящиков:
,
,
.
Сведем данную транспортную задачу к закрытой: введем фиктивную базу А4 с недостающей мощностью а4 = 200 ящиков:
.
Зададим значения условных транспортных затрат на единицу груза от данной базы к заводам-потребителям равными нулю, результаты занесем в следующую таблицу.
Таблица 10.4
С учетом фиктивного поставщика математическая модель будет иметь вид:
2 этап: разработка исходного опорного плана.
Для отыскания исходного опорного плана воспользуемся методом минимальной стоимости. Согласно таблице поставок (таблица 10.4) минимальная стоимость соответствует клеткам строки фиктивного поставщика. Рассмотрим, к примеру, клетку «4-3». Объем поставок для данной пары поставщик-потребитель составит:
Запишем в клетку «4-3» объем поставок x43=200 (таблица 10.5). Запасы фиктивного поставщика исчерпаны (зачеркиваем остальные клетки данной строки, они в дальнейших рассмотрениях не участвуют).
Таблица 10.5
Из свободных клеток минимальная стоимость соответствует клеткам «1- 1» и «1-4» (cij=1), выберем, к примеру, клетку «1-4». Вписываем в данную клетку объем поставок x14=100 (таблица 10.6). Запасы первого поставщика исчерпаны (зачеркиваем остальные клетки данной строки, они в дальнейших рассмотрениях не участвуют).
Таблица 10.6
Следующая свободная клетка с наименьшей стоимостью поставок единицы груза – клетка «2-1» (c21=2). Объем поставок для данной пары поставщик-потребитель составит:
Запишем в клетку «2-1» объем поставок x21=100 (таблица 10.7). Потребность первого завода-потребителя полностью удовлетворена (зачеркиваем незадействованную клетку данной колонки – «3-1», она в дальнейших рассмотрениях не участвуют).
Таблица 10.7
Оставшиеся запасы второго поставщика целесообразно направить для удовлетворения потребностей второго завода-потребителя, так как стоимость доставки единицы груза здесь наименьшая (c 22=3). Вписываем в соответствующую клетку объем поставок x22=100 (таблица 10.8).
Таблица 10.8
Таким образом, потребность второго завода-потребителя полностью удовлетворена и мощность второго поставщика полностью задействована, поэтому вычеркиваем незадействованные клетки «2-3», «2-4» и «3-2», в дальнейших рассмотрениях они не участвуют.
Продолжая данные рассуждения, в результате получим следующее распределение поставок:
Таблица 10.9
Совокупные транспортные издержки для данного плана поставок составят (усл. ден. ед.):
.
3 этап: проверка вырожденности опорного плана.
Количество задействованных клеток в таблице поставок (таблица 10.9): N=6. Ранг r системы ограничений транспортной задачи равен:
.
Так как, , следовательно, опорный план транспортной задачи вырожденный. Определим количество фиктивных поставок:
.
В любой свободной клетке таблицы поставок проектному параметру xij присвоим нулевое значение. Выберем, к примеру, клетку «3-2» (клетки для фиктивных поставок необходимо выбирать таким образом, чтобы в дальнейшем можно было корректно построить контур перераспределения поставок).
Таблица 10.10
4 этап: расчет потенциалов.
Для первой строки принимаем ?1=0. Рассмотрим загруженную клетку «1-4»: .
Для загруженной клетки «3-4»: .
Аналогично последовательно находим потенциалы строк и колонок по остальным загруженным клеткам, результаты расчетов представлены в таблице 10.11.
Таблица 10.11
5 этап: проверка плана на оптимальность.
По таблице 10.11 для незагруженных клеток проверим условие оптимальности ():
«1-1»: ,
«1-2»: ,
«1-3»: ,
«2-3»: ,
«2-4»: ,
«3-1»: ,
«4-1»: ,
«4-2»: ,
«4-4»: .
Опорный план не оптимальный, так как имеются клетки, для которых условие оптимальности не выполняется: «2-3», «2-4», «4-4».
6 этап: поиск «вершины максимальной неоптимальности» (ВМН).
Для клеток «2-3», «2-4», «4-4» рассчитаем оценки: .
,
,
.
.
Выбор ВМН неоднозначен (можно выбрать любую), примем клетку «4-4» в качестве ВМН. Пометим ее в таблице поставок знаком (таблица 10.12).
Таблица 10.12
7 этап: построение контура перераспределения поставок.
Построим контур перераспределения поставок (таблица 10.13).
Таблица 10.13
В таблице 10.13 начиная с ВМН разделим вершины на загружаемые
и разгружаемые.
8 этап: определение минимального элемента в контуре перераспределения и перераспределение поставок по контуру.
В рамках построенного контура из клеток со статусом «разгружаемые» выберем клетку с наименьшим объемом поставок (полностью разгружаемую клетку):
.
Выбор неоднозначен, полностью разгружаем, к примеру, клетку x34 и загружаем ВМН (x44=200). Для обеспечения соответствия объемов запасов и потребностей перераспределим поставки по контуру – разгрузим клетку «4-3» на 200 ящиков (x43=0) и загрузим на этот же объем клетку «3-3» (x33=100+200=300).
9 этап: получения нового опорного плана.
В результате перераспределения поставок по контуру получим новый опорный план (таблица 10.14).
Таблица 10.14
Совокупные транспортные издержки для данного плана поставок составят (усл. ден. ед.):
.
II итерация:
1 этап: проверка вырожденности опорного плана.
Опорный план условно невырожденный.
2 этап: расчет потенциалов.
Результаты расчета потенциалов приведены в таблице 10.15.
Таблица 10.15
3 этап: проверка плана на оптимальность.
«1-1»: ,
«1-2»: ,
«1-3»: ,
«2-3»: ,
«2-4»: ,
«3-1»: ,
«3-4»: ,
«4-1»: ,
«4-2»: .
Опорный план не оптимальный, так как имеются клетка «2-3», для которой условие оптимальности не выполняется.
4 этап: поиск «вершины максимальной неоптимальности» (ВМН).
Клетку «2-3» примем в качестве ВМН. Пометим ее знаком (таблица 10.16).
Таблица 10.16
5 этап: построение контура перераспределения поставок.
Построим контур перераспределения поставок (таблица 10.17).
Таблица 10.17
В таблице 10.17 начиная с ВМН разделим вершины на загружаемые
и разгружаемые.
6 этап: определение минимального элемента в контуре перераспределения и перераспределение поставок по контуру.
В рамках построенного контура из клеток со статусом «разгружаемые» выберем клетку с наименьшим объемом поставок (полностью разгружаемую клетку):
.
Полностью разгружаем клетку x22 и загружаем ВМН (x23=100). Для обеспечения соответствия объемов запасов и потребностей перераспределим поставки по контуру – разгрузим клетку «3-3» на 100 ящиков (x33=200) и загрузим на этот же объем клетку «3-2» (x32=100).
7 этап: получения нового опорного плана.
В результате перераспределения поставок по контуру получим новый опорный план (таблица 10.18).
Таблица 10.18
Совокупные транспортные издержки для данного плана поставок составят (усл. ден. ед.):
.
III итерация:
1 этап: проверка вырожденности опорного плана.
Опорный план невырожденный.
2 этап: расчет потенциалов.
Результаты расчета потенциалов приведены в таблице 10.19.
Таблица 10.19
3 этап: проверка плана на оптимальность.
«1-1»: ,
«1-2»: ,
«1-3»: ,
«2-2»: ,
«2-4»: ,
«3-1»: ,
«3-4»: ,
«4-1»: ,
«4-2»: .
Опорный план не оптимальный, так как имеются клетка «3-1», для которой условие оптимальности не выполняется.
4 этап: поиск «вершины максимальной неоптимальности» (ВМН).
Клетку «3-1» примем в качестве ВМН. Пометим ее знаком (таблица 10.20).
Таблица 10.20
5 этап: построение контура перераспределения поставок.
Построим контур перераспределения поставок (таблица 10.21).
Таблица 10.21
В таблице 10.21 начиная с ВМН разделим вершины на загружаемые
и разгружаемые .
6 этап: определение минимального элемента в контуре перераспределения и перераспределение поставок по контуру.
В рамках построенного контура из клеток со статусом «разгружаемые» выберем клетку с наименьшим объемом поставок (полностью разгружаемую клетку):
.
Полностью разгружаем клетку x21 и загружаем ВМН (x31=100). Для обеспечения соответствия объемов запасов и потребностей перераспределим поставки по контуру – разгрузим клетку «3-3» на 100 ящиков (x33=100) и загрузим на этот же объем клетку «2-3» (x23=200).
7 этап: получения нового опорного плана.
В результате перераспределения поставок по контуру получим новый опорный план (таблица 10.22).
Таблица 10.22
Совокупные транспортные издержки для данного плана поставок составят (усл. ден. ед.):
.
VI итерация:
1 этап: проверка вырожденности опорного плана.
Опорный план невырожденный.
2 этап: расчет потенциалов.
Результаты расчета потенциалов приведены в таблице 10.23.
Таблица 10.23
3 этап: проверка плана на оптимальность.
«1-1»: ,
«1-2»: ,
«1-3»: ,
«2-1»: ,
«2-2»: ,
«2-4»: ,
«3-4»: ,
«4-1»: ,
«4-2»: .
Найденный опорный план оптимальный, так как для всех незагруженных клеток выполняется условие оптимальности. Оптимальное решение является единственным, так как все неравенства строгие.
Ответ: оптимальное распределение поставок:
.
Данное распределение поставок обеспечит оптимальные транспортные издержки в размере 2300 усл. ден. ед.
СКАЧАТЬ методические указания к решению транспортной задачи: Транспортная задача с ограничениями на пропускную способность