Сплайны, Многочлен Лагранжа, Интерполяционные многочлены Эрмита

Сплайны

Сейчас широкое распространение для ин­терполяции получило использование кубических сплайн-функций — специальным образом построенных многочле­нов третьей степени. Они представляют собой некоторую математическую модель гибкого тонкого стержня из упругого материала.

Если закре­пить его в двух соседних уз­лах интерполяции с заданными углами наклонов ?и ? (рис. 9), то между точками закреп­ления этот стержень (механи­ческий сплайн) примет не­которую форму, минимизи­рующую его потенциальную энергию.

Пусть форма этого стержня определяется функцией у = S( x). Из курса сопротивления материалов известно, что уравнение свободного равновесия имеет вид SIV( x) = 0. Отсюда следует, что между каждой парой соседних узлов интерполяции функция S (x) является многочленом третьей степени. Запишем ее в виде

Для определения коэффициентов на всех п элементарных отрезках необходимо получить 4n урав­нений. Часть из них вытекает из условий прохождения графика функции S (х) через заданные точки, т. е, . Эти условия можно записать в виде

Эта система содержит 2п уравнений. Для получения не­ достающих уравнений зададим условия непрерывности первых и вторых производных в узлах интерполяции, т. е. условия гладкости кривой во всех точках.

Вычислим производные многочлена (2.29):

Приравнивая в каждом внутреннем узле х = х i значения этих производных, вычисленные в левом и правом от уз­ла интервалах, получаем 2п — 2 уравнений

Недостающие два соотношения получаются из условий закрепления концов сплайна.

В частности, при свободном закреплении концов (см, рис. 9) можно приравнять нулю кривизну линии в этих точках. Такая функция, называемая свободным кубиче­ским сплайном, обладает свойством минимальной кри­визны, т. е. она самая гладкая среди всех интерполяци­онных функций данного класса. Из условий нулевой кривизны на концах следуют равенства нулю вторых про­изводных в этих точках:

Уравнения (2.30) — (2.34) составляют систему линейных алгебраических уравнений для определения 4 n коэффициентов (i = 1, 2, ..., n ).

Многочлен Лагранжа

Перейдем к случаю глобаль­ной интерполяции, т. е. построению интерполяционного многочлена, единого для всего отрезка [х0, хп]. При этом, естественно, график интерполяционного многочлена должен проходить через все заданные точки.

Запишем искомый многочлен в виде

Из условий равенства значений этого многочлена в уз­лах хi соответствующим заданным табличным зпачеппям yi получим следующую систему уравнений для нахождения коэффициентов а0, а1, ..., а n:

Можно показать, что эта система имеет единственное решение, если среди узлов интерполяции нет совпада­ющих, т. е. если . Решив эту систему, найдем коэффициенты интерполяционного многочлена (2.38). Заметим вместе с тем, что такой путь построе­ния интерполяционного многочлена требует значитель­ного объема вычислений, особенно при большом числе узлов. Существуют более простые алгоритмы построения интерполяционных многочленов.

Будем искать многочлен в виде линейной комбинации многочленов степени п:

При этом потребуем, чтобы каждый многочлен li (x ) обращался в нуль во всех узлах интерполяции, за исклю­чением одного (i-го), где он должен равняться единице. Легко проверить, что этим условиям отвечает много­член вида

Действительно, l0 (х) = 1 при х = х0. При числитель выражения (2.41) обращается в нуль. По аналогии с (2.41) получим

Подставляя в (2.40) выражения (2.41), (2.42), находим

Эта формула называется интерполяционным многочле­ном Лагранжа.

Теорема о единственности.

Покажем, что этот многочлен является единственным. Допустим противоположное: пусть существует еще один многочлен F(x ) степени п , принимающий в узлах ин­терполяции заданные значения, т. е. F( xi)= yi. Тогда разность R{ x) = L(x)— F(x), являющаяся многочленом степени п(или ниже), в узлах xiравна

Это означает, что многочлен R (x) степени не больше п имеет п + 1 корней. Отсюда следует, что R (х)? 0 и F{x)= L{x).

Из формулы (2.43) можно получить выражения для линейной (п = 1) и квадратичной (п= 2) интерполяций:

Интерполяционные многочлены Эрмита

Существует несколько обобщений интерполяционного многочлена Лагранжа. Например, довольно широко ис­пользуются интерполяционные многочлены Эрмита. Здесь наряду со значениями функции уi в узлах хiзадаются значения ее производной . Задача состоит в том, что­бы найти многочлен ?(х) степени 2n + 1, значения ко­торого и его производной в узлах xi удовлетворяют со­ответственно соотношениям

В этом случае также существует единственное решение, если все xi различны.