Сплайны, Многочлен Лагранжа, Интерполяционные многочлены Эрмита


Рубрика: Прочее

Сплайны

Сейчас широкое распространение для ин­терполяции получило использование кубических сплайн-функций — специальным образом построенных многочле­нов третьей степени. Они представляют собой некоторую математическую модель гибкого тонкого стержня из упругого материала.

Если закре­пить его в двух соседних уз­лах интерполяции с заданными углами наклонов ?и ? (рис. 9), то между точками закреп­ления этот стержень (механи­ческий сплайн) примет не­которую форму, минимизи­рующую его потенциальную энергию.

Пусть форма этого стержня определяется функцией у = S( x). Из курса сопротивления материалов известно, что уравнение свободного равновесия имеет вид SIV( x) = 0. Отсюда следует, что между каждой парой соседних узлов интерполяции функция S (x) является многочленом третьей степени. Запишем ее в виде

Для определения коэффициентов на всех п элементарных отрезках необходимо получить 4n урав­нений. Часть из них вытекает из условий прохождения графика функции S (х) через заданные точки, т. е, . Эти условия можно записать в виде

Эта система содержит 2п уравнений. Для получения не­ достающих уравнений зададим условия непрерывности первых и вторых производных в узлах интерполяции, т. е. условия гладкости кривой во всех точках.

Вычислим производные многочлена (2.29):

Приравнивая в каждом внутреннем узле х = х i значения этих производных, вычисленные в левом и правом от уз­ла интервалах, получаем 2п — 2 уравнений

Недостающие два соотношения получаются из условий закрепления концов сплайна.

В частности, при свободном закреплении концов (см, рис. 9) можно приравнять нулю кривизну линии в этих точках. Такая функция, называемая свободным кубиче­ским сплайном, обладает свойством минимальной кри­визны, т. е. она самая гладкая среди всех интерполяци­онных функций данного класса. Из условий нулевой кривизны на концах следуют равенства нулю вторых про­изводных в этих точках:

Уравнения (2.30) — (2.34) составляют систему линейных алгебраических уравнений для определения 4 n коэффициентов (i = 1, 2, ..., n ).

Многочлен Лагранжа

Перейдем к случаю глобаль­ной интерполяции, т. е. построению интерполяционного многочлена, единого для всего отрезка [х0, хп]. При этом, естественно, график интерполяционного многочлена должен проходить через все заданные точки.

Запишем искомый многочлен в виде

Из условий равенства значений этого многочлена в уз­лах хi соответствующим заданным табличным зпачеппям yi получим следующую систему уравнений для нахождения коэффициентов а0, а1, ..., а n:

Можно показать, что эта система имеет единственное решение, если среди узлов интерполяции нет совпада­ющих, т. е. если . Решив эту систему, найдем коэффициенты интерполяционного многочлена (2.38). Заметим вместе с тем, что такой путь построе­ния интерполяционного многочлена требует значитель­ного объема вычислений, особенно при большом числе узлов. Существуют более простые алгоритмы построения интерполяционных многочленов.

Будем искать многочлен в виде линейной комбинации многочленов степени п:

При этом потребуем, чтобы каждый многочлен li (x ) обращался в нуль во всех узлах интерполяции, за исклю­чением одного (i-го), где он должен равняться единице. Легко проверить, что этим условиям отвечает много­член вида

Действительно, l0 (х) = 1 при х = х0. При числитель выражения (2.41) обращается в нуль. По аналогии с (2.41) получим

Подставляя в (2.40) выражения (2.41), (2.42), находим

Эта формула называется интерполяционным многочле­ном Лагранжа.

Теорема о единственности.

Покажем, что этот многочлен является единственным. Допустим противоположное: пусть существует еще один многочлен F(x ) степени п , принимающий в узлах ин­терполяции заданные значения, т. е. F( xi)= yi. Тогда разность R{ x) = L(x)— F(x), являющаяся многочленом степени п(или ниже), в узлах xiравна

Это означает, что многочлен R (x) степени не больше п имеет п + 1 корней. Отсюда следует, что R (х)? 0 и F{x)= L{x).

Из формулы (2.43) можно получить выражения для линейной (п = 1) и квадратичной (п= 2) интерполяций:

Интерполяционные многочлены Эрмита

Существует несколько обобщений интерполяционного многочлена Лагранжа. Например, довольно широко ис­пользуются интерполяционные многочлены Эрмита. Здесь наряду со значениями функции уi в узлах хiзадаются значения ее производной . Задача состоит в том, что­бы найти многочлен ?(х) степени 2n + 1, значения ко­торого и его производной в узлах xi удовлетворяют со­ответственно соотношениям

В этом случае также существует единственное решение, если все xi различны.

Оставьте комментарий!

grin LOL cheese smile wink smirk rolleyes confused surprised big surprise tongue laugh tongue rolleye tongue wink raspberry blank stare long face ohh grrr gulp oh oh downer red face sick shut eye hmmm mad angry zipper kiss shock cool smile cool smirk cool grin cool hmm cool mad cool cheese vampire snake excaim question

Комментарий будет опубликован после проверки

Вы можете войти под своим логином или зарегистрироваться на сайте.

(обязательно)